Robust Algebraic Multigrid Methods in Magnetic Shielding Problems

The aim of this diplom thesis is to provide a robust and e cient solver for large sparse and poor conditioned linear systems arising from the FEmethod for elliptic scalar PDEs of second order. For a counter example the problem of magnetic shielding is used. Therefore the Maxwell's equations for stationary objects are reduced to a scalar PDE of second order with appropriate boundary conditions. In order to solve the equation by means of FEM, a discretization for micro scales is introduced. Especially long thin elements are suggested to keep the number of unknowns small in areas of micro structures. Constructively a nite element analysis is carried out where also a convergence result of the FE-solution in H1 is presented. To achieve an e cient and robust solution strategy the algebraic multigrid method of Ruge and St uben is introduced. Additionally three di erent areas of application are presented for this AMG method, i.e. preconditioner, coarse grid solver for a full multigrid method, and black box solver. Because this AMG method normally works well for M-matrices, a technique is presented to attain M-matrices, if the underlying linear system arises from an FE-discretization. The method to achieve the M-matrix property is based on the element matrices. The algorithm was implemented as black box solver in the nite element package FEPP. Therein AMG was applied as preconditioner for the conjugate gradient method. Some numerical experiments are presented, where long thin quadrilaterals are used with ratio of the longest and shortest side of 1 to 10 3. Additionally parameter jumps of order 10 6 to 10+6 are considered. Concluding AMG has been proven, at least in a numerical way, to be an e cient and robust solver for magnetic shielding problems, if it is used as a preconditioner for the CG-method. If long thin quadrilaterals are used for discretization the modi ed preconditioner also behaves very robust. 3 Zusammenfassung Das Ziel dieser Diplomarbeit ist die Entwicklung einer robusten und e zienten Losungsstrategie f ur gro e, d unngesetzte und schlecht konditionierte lineare Gleichungssysteme, welche bei der Diskretisierung von elliptischen Di erentialgleichungen 2.Ordnung entstehen. Als Beispiele dienen Abschirmprobleme in 2D, wof ur die Maxwell'schen Gleichungen als Grundlage f ur die Modellierung ben utzt werden. Diese Gleichungen reduzieren sich zu einer skalaren partiellen Di erentialgleichung 2.Ordnung mit geeigneten Randbedingungen. Um diese Problemklasse numerisch mit Hilfe der Methode der Finiten Elemente zu losen, wird eine geeignete Diskretisierung f ur Mikroskalen eingef uhrt. Zu diesem Zweck werden lange d unne Elemente vorgeschlagen, um die Anzahl der Unbekannten gering zu halten. Weiters wird eine Konvergenzanalysis f ur die FEM-Losung in H1 bereitgestellt. Als Grundlage f ur einen e zienten und robusten Loser dient die algebraische Multigrid Methode von Ruge und St uben. Aufbauend auf dieser Methode werden drei Anwendungsgebiete beschrieben: Vorkonditionierer, Grobgitterloser f ur die Full Multigrid Methode und Black Box Loser. Da die vorgeschlagene Technik im allgemeinen nur f ur M-Matrizen zufriedenstellend funktioniert wird eine Methode bereitgestellt, welche spektralaquivalente M-Matrizen generiert. Diese Technik basiert auf den Elementmatrizen. Der Algorithmus wurde im Finite Elemente Programm FEPP implementiert, in dem AMG als Vorkonditionierer f ur das konjugierte Gradientenverfahren verwendet wird. Abschlie end werden numerische Experimente durchgef uhrt, in denen lange, d unne Vierecke mit einem Seitenverhaltnis von ca. 1 : 10 3 verwendet werden. Zusatzlich werden Parameterspr unge in der Gro enordnung von 10 6 bis 10+6 angenommen. AMG ist ein, im zumindest numerischen Sinn, e zienter und robuster Loser f ur Abschirmprobleme, falls es als Vorkonditionierer f ur das CG Verfahren verwendet wird. Werden lange d unne Vierecke zur Diskretisierung verwendet, so ist der modi zierte Vorkonditionierer ebenfalls sehr robust. 4